an=n2^n,求sn

这要用到错位相减法 。

s=1*2+ 2*2^2+ 3*2^3+ 4*2^4+……+n*2^n 给此式左右乘以2得：

2s= 1*2^2+ 2*2^3+ 3*2^4+4*2^5+……+（n-1）*2^n+n*2^(n+1)

第一个式子减第二个式子，得

-s=2+2^2+2^3+2^4+……2 ^n）-n*2 ^(n+1)

=2*（1-2 ^n）/（1-2）-n*2 ^(n+1)

=(1-n）*2 ^(n+1) -2

所以，s=（n-1 ）*2 ^(n+1)+2.

Sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n
2*Sn=1*2^2+2*2^3+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
所以Sn=2Sn-Sn=n*2^(n+1)+(n-1-n)*2^n+[(n-2)-(n-1)]*2^(n-2)+……+(1-2)*2^2-1*2^1
=n*2^(n+1)-[2^n+2^(n-1)+……+2^2+2^1)
=n*2^(n+1)-[2^(n+1)-2]

所以Sn=(n-1)*2^(n+1)+2

当n=1时，S1=a1=2.
当n>=2
Sn=a1+a2+a3+......+a(n-1)+an
=1*2+2*2^2+3*2^3+......+(n-1)2^(n-1)+n2^n
于是有2Sn=1*2^2+2*2^3+.....+(n-2)2^(n-1)+(n-1)2^n+n2^(n+1)
于是有Sn=-1*2-2^2-2^3-.......-2^(n-1)-2^n+n2^(n+1)
=(n-1)2^(n+1)+2.
所以有Sn=(n-1)2^(n+1)+2.

an=n2^n,求sn
Sn=(1/6)n(n+1)(2n+1)
用数学归纳法证
当n=1时, S1=a1=1,成立
假设n=k时成立,则n=k+1时
Sn+1=Sn+(